الموضوع النموذجي 5 · رياضيات العام (النوفيام)
على نمط امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي العام (النوفيام): الحصّة ساعتان، الضارب 2، 5 تمارين على 20. المحاور: مثلث متقايس الضلعين ومربّع ومتوازي مستطيلات.
أنجز الموضوع في ساعتان على ورقة، ثمّ افتح عناصر الإجابة.
التمرين 1: أسئلة متعدّدة الاختيارات
3 نقاطلكلّ سؤال من أسئلة هذا التمرين ثلاث إجابات مقترحة، واحدة فقط منها صحيحة. أنقل على ورقة تحريرك رقم السؤال والحرف الموافق للإجابة الصحيحة.
- القاسم المشترك الأكبر للعددين 84 و 126 هو:أ) 14ب) 21ج) 42
- كيس فيه 3 كرات حمراء و 5 كرات خضراء وكرتان بيضاوان. نسحب عشوائيًا كرة واحدة. احتمال ألّا تكون الكرة المسحوبة خضراء هو:أ) 1/2ب) 3/10ج) 1/5
- في معيّن متعامد (O, I, J) نعتبر النقطة A(2 ; 1/(√3 − √2)). مناظرة A بالنسبة إلى المستقيم (OI) هي النقطة:أ) (−2 ; √3 + √2)ب) (2 ; √2 − √3)ج) (2 ; −√3 − √2)
عناصر الإجابة
- 1) 84 = 2² × 3 × 7 و 126 = 2 × 3² × 7 إذن PGCD = 2 × 3 × 7 = 42، الجواب (ج).
- 2) عدد الكرات غير الخضراء 3 + 2 = 5 من 10: الاحتمال 5/10 = 1/2، الجواب (أ).
- 3) 1/(√3 − √2) = (√3 + √2)/(3 − 2) = √3 + √2. التناظر بالنسبة إلى (OI) يحافظ على الفاصلة ويغيّر إشارة الترتيبة: (2 ; −√3 − √2)، الجواب (ج).
التمرين 2: جذور وقيمة مطلقة ومقلوب
3,5 نقاطنعتبر الأعداد A = √75 − 2√27 + √12 و B = (2 − A)² + 4A و C = |A − 2| + |A − 1|.
- بيّن أنّ A = √3.
- بيّن أنّ B عدد صحيح طبيعي.
- بسّط العدد C.
- بيّن أنّ 1/(2 − √3) = 2 + √3، ثمّ احسب 1/(2 − √3) − 1/(2 + √3).
عناصر الإجابة
- 1) √75 = 5√3 و √27 = 3√3 و √12 = 2√3، إذن A = 5√3 − 6√3 + 2√3 = √3.
- 2) B = (2 − √3)² + 4√3 = 4 − 4√3 + 3 + 4√3 = 7: عدد صحيح طبيعي.
- 3) 1 < √3 < 2 (لأنّ 1 < 3 < 4) إذن C = (2 − √3) + (√3 − 1) = 1.
- 4) 1/(2 − √3) = (2 + √3)/(4 − 3) = 2 + √3، وبنفس الطريقة 1/(2 + √3) = 2 − √3، إذن الفرق = (2 + √3) − (2 − √3) = 2√3.
التمرين 3: مساحة مستطيل ومتراجحة بقيمة مطلقة
4 نقاط(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر). x عدد حقيقي موجب قطعًا، و ABCD مستطيل حيث AB = x + 6 و AD = x. نرمز بـ S(x) إلى مساحته.
- بيّن أنّ x² + 6x = (x + 3)² − 9.
- فكّك العبارة x² + 6x − 40 إلى جذاء عاملين.
- أ) بيّن أنّ S(x) = x² + 6x.
ب) جد x حتّى تكون S(x) = 40، ثمّ احسب في هذه الحالة محيط المستطيل. - أ) حلّ في ℝ المتراجحة |x + 3| < 6.
ب) بيّن أنّ S(x) < 27 تعني |x + 3| < 6، ثمّ استنتج مجموعة قيم x التي تكون من أجلها S(x) < 27.
الجذاءات المعتبرةالمعادلات من الدرجة الأولى ذات مجهول واحدالقيمة المطلقة لعدد حقيقي وخاصياتهاالمجالات في IR والحصر
عناصر الإجابة
- 1) (x + 3)² − 9 = x² + 6x + 9 − 9 = x² + 6x.
- 2) x² + 6x − 40 = (x + 3)² − 49 = (x + 3 − 7)(x + 3 + 7) = (x − 4)(x + 10).
- 3) أ) S(x) = AB × AD = x(x + 6) = x² + 6x. ب) S(x) = 40 تعني (x − 4)(x + 10) = 0 أي x = 4 أو x = −10، و x > 0 إذن x = 4: AB = 10 و AD = 4 والمحيط 2 × (10 + 4) = 28 cm.
- 4) أ) −6 < x + 3 < 6 تعني −9 < x < 3: المجموعة ]−9 ; 3[. ب) S(x) < 27 تعني (x + 3)² − 9 < 27 أي (x + 3)² < 36 أي |x + 3| < 6. ومع x > 0: x ∈ ]0 ; 3[.
التمرين 4: مثلث متقايس الضلعين ومركز ثقل ومربّع
5 نقاط(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر). في الرسم المقابل ABC مثلث متقايس الضلعين قمّته الرئيسية A حيث BC = 6، و I منتصف [BC] و AI = 9.
- بيّن أنّ (AI) ⊥ (BC) ثمّ احسب AB.
- لتكن G مركز ثقل المثلث ABC. بيّن أنّ G تنتمي إلى [AI] ثمّ احسب AG و GI.
- بيّن أنّ GB = 3√2، ثمّ أنّ المثلث BGC قائم في G ومتقايس الضلعين.
- لتكن E مناظرة G بالنسبة إلى I. بيّن أنّ الرباعي BGCE مربّع ثمّ احسب مساحته.
- المستقيم المارّ من G والموازي لـ (BC) يقطع [AB] في M. احسب GM ثمّ AM.
عناصر الإجابة
- 1) في المثلث المتقايس الضلعين ABC الموسّط [AI] هو أيضًا ارتفاع: (AI) ⊥ (BC). AB² = AI² + BI² = 81 + 9 = 90 إذن AB = 3√10.
- 2) G مركز الثقل تنتمي إلى الموسّط [AI] و AG = (2/3) AI = 6، ومنه GI = 9 − 6 = 3.
- 3) المثلث GIB قائم في I: GB² = 9 + 9 = 18 إذن GB = 3√2، وكذلك GC = 3√2. GB² + GC² = 36 = BC²: المثلث BGC قائم في G (عكس بيتاغور) و GB = GC.
- 4) قطرا الرباعي BGCE [BC] و [GE] متناصفان في I، و GE = 2 GI = 6 = BC، و (GE) ⊥ (BC): قطران متناصفان متقايسان ومتعامدان، إذن BGCE مربّع. مساحته GB² = 18 cm².
- 5) حسب طالس في المثلث ABI: GM/IB = AG/AI = AM/AB = 6/9 = 2/3، ومنه GM = 2 و AM = (2/3) × 3√10 = 2√10.
التمرين 5: متوازي المستطيلات وهرم
4,5 نقاط(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر). ABCDEFGH متوازي مستطيلات قاعدته المربّع ABCD الذي طول ضلعه 6، و AE = 3√2. K مركز المربّع ABCD و O مركز المربّع EFGH.
- احسب AC، ثمّ بيّن أنّ (OK) // (AE) و OK = 3√2، واستنتج أنّ المستقيم (OK) عمودي على المستوي (ABC).
- احسب OA ثمّ بيّن أنّ المثلث OAC قائم في O ومتقايس الضلعين.
- بيّن أنّ المستقيم (BD) عمودي على المستوي (OAC).
- احسب حجم متوازي المستطيلات ABCDEFGH وحجم الهرم OABCD، ثمّ قارن بينهما.
عناصر الإجابة
- 1) AC = 6√2 (قطر مربّع ضلعه 6). K منتصف [AC] و O منتصف [EG]، والرباعي ACGE مستطيل، إذن AKOE مستطيل: (OK) // (AE) و OK = AE = 3√2. (AE) ⊥ (ABC) إذن (OK) ⊥ (ABC).
- 2) (OK) ⊥ (AK) و AK = 3√2: OA² = 18 + 18 = 36 إذن OA = 6، وكذلك OC = 6. OA² + OC² = 72 = (6√2)² = AC²: المثلث OAC قائم في O (عكس بيتاغور) و OA = OC.
- 3) (BD) ⊥ (AC) (قطرا المربّع)، و (BD) ⊥ (OK) لأنّ (OK) ⊥ (ABC)؛ (AC) و (OK) متقاطعان في K داخل المستوي (OAC)، إذن (BD) ⊥ (OAC).
- 4) حجم متوازي المستطيلات = 36 × 3√2 = 108√2 cm³. حجم الهرم OABCD = (36 × 3√2)/3 = 36√2 cm³: حجم الهرم يساوي ثلث حجم متوازي المستطيلات.
موضوع وعناصر إجابة من إعداد سكولار، ليس موضوعًا رسميًا. تُقبل كلّ طريقة صحيحة أخرى.
راجع الدروس المعنيّة
لكلّ درس شرح وأمثلة محلولة و6 تمارين مصحّحة.
كيف ترافقون طفلكم في موضوع الرياضيات
- نظّموا معه وقت الموضوع كما في يوم الامتحان، وشجّعوه على البدء بالتمرين الذي يرتاح إليه أكثر.
- ذكّروه بأنّ تحرير الحلّ مهمّ مثل النتيجة: الخاصّيات المستعملة والمراحل مكتوبة بوضوح.
- في الهندسة: اطلبوا منه رسمًا دقيقًا بالأدوات وتسجيل المعطيات عليه قبل البرهنة.
- لا تعطوه الحلّ عند التعثّر؛ اسألوه عن الدرس أو الخاصّية التي قد تفيد، ودعوه يعيد المحاولة.
- شجّعوه على التحقّق من النتائج (التعويض في المعادلة، معقولية القيس).
بعد أن ينجز طفلكم الموضوع، اسألوه:
- «ما الخاصّية أو القاعدة التي استعملتها في هذا السؤال؟»
- «هل تحقّقت من نتيجتك؟ كيف؟»
- «ماذا ستراجع قبل الموضوع القادم؟»
مقالات أخرى في نصائح للأولياء.